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Avviso ai naviganti sul corso di elettrotecnica ed elettronica – Grazie!

Sto ricevendo numerosissime richieste di argomenti da trattare per il corso di elettrotecnica ed elettronica e pian piano li tratterò tutti. Non pensavo che l’argomento suscitasse un così grande interesse.
Avverto nuovamente che la trattazione è volutamente semplificata, come avete potuto constatare mi focalizzo sugli argomenti, anche se elementari, che nell’immediato potranno essere di aiuto.
Non voglio in alcun modo che il tutto diventi un libro comprensibile solo a pochi, ma è mio desiderio che diventi una raccolta di lezioni per un pubblico ampio, quindi cortesemente per i più esigenti 🙂 accettate questo percorso graduale. Ritengo necessario non dare nulla per scontato e mettere in evidenza anche argomenti che a prima vista sembrano banali, infatti più volte mi capita correggere, nei compiti in classe e nelle interrogazioni, errori di base: calcoli elementari di matematica, regole di base di elettrotecnica ecc…

Ringrazio chi mi ha segnalato inesattezza, perdonate ma sto utilizzando un plug-in di wordpress che mi consente di scrivere formule matematiche in un modo un po’ criptico e molto spesso nel copia e incolla possono capitare refusi, inoltre il tutto viene realizzato in genere in tarda serata, momento in cui la stanchezza accumulata nella giornata è maggiore. Nessuna offesa da parte mia se mi segnalate errori e precisazioni, anzi vi invito a contattarmi.

Mi è stato chiesto di realizzare un indice di lezioni, fatto!
E’ stato inserito nella sezione Area studenti, alla voce Corso di elettrotecnica ed elettronica.

Inoltre ho aggiunto un banner in colonna destra che vi conduce direttamente al corso.

banner-ceeVisto l’elevatissimo numero di utenti che negli scorsi giorni hanno consultano queste pagine, nelle scorse giornate il sito è stato per alcuni momenti non raggiungibile, ho provveduto nuovamente a ridimensionare la memoria del server virtuale su cui è ospitato questo blog, mi scuso per l’inconveniente, spero capiti più raramente.

Rispondo inoltre in modo cumulativo alle mail che mi sono giunte nella mattinata (vi riassumo):

  • parlerai di elettronica digitale?
  • Tratterai i transitor?
  • Ci spieghi come usare l’oscilloscopio?
  • Non dimenticarti degli operazionali!
  • Ci parlerai anche degli impianti elettrici?

Come rispondere a queste domande?
Ogni argomento potrebbe essere un libro, mi piacerebbe farlo e sicuramente col tempo tratterò questi argomenti, ma vorrei prima pensare alla base, all’abc, con ordine e poi si pensa al resto.

Grazie a tutti.

Corso di elettrotecnica ed elettronica: richiami di Matematica – proporzioni – Lezione 4

banner-corso-elettrotecnica-elettronica-04

Il rapporto tra

12 e 3 è 12:3 =4

il rapporto tra

8 e 2 è 8:2=4

Poiché i due rapporti sono uguali possiamo scrivere:

12:3 = 8:2

L’ugiaglianza scritta si chiama proporzione e si legge:

12 sta a 3 come 8 sta a 2

Diciamo che:

La proporzione è l’uguaglianza di due rapporti.

In altro modo:

Quattro numeri assegnati in un certo ordine formano una proporzione se il rapporto fra il primo e il secondo è uguale al rapporto fra il terzo ed il quarto.

Ad esempio, i numeri 6, 3, 8 e 4 nell’ordine dato formano una proporzione, perché il rapporto fra il primo e il secondo 6:3=2 è uguale al rapporto fra il terzo e il quarto 8:4. Possiamo quindi scrivere:

6:3 = 8:4

I quattro numeri di una proporzione si chiamano termini della proporzione e precisamente 1°, 2°, 3° e 4° termine a cominciare da sinistra:

  • antecedenti di una proporzione sono il 1° ed il 3° termine;
  • conseguenti di una proporzione sono il 2° ed il 4° termine;
  • estremi di una proporzione sono il 1° ed il 4° termine;
  • medi di una proporzione sono il 2° ed il 3° termine;

Il quarto termine di una proporzione prende il nome di quarto proporzionale dopo gli altri tre nell’ordine.

Ad esempio nella proporzione:

6:3 = 8:4

i numeri 6, 3, 8, 4 sono i termini e precisamente, nell’ordine: il 1°, il 2°, il 3° e il 4° termine.

  • 6 e 8 sono gli antecedenti;
  • 3 e 4 sono i conseguenti
  • 6 e 4 sono gli estremi;
  • 3 e 8 i medi
  • 4 è il 4° proporzionale dopo 6, 3 e 8

Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali.

Le seguenti proporzioni sono continue:

12:6=6:3

18:12=12:8

In una proporzione continua il termine medio si dice medio proporzionale fra gli estremi; l’ultimo termine si dice terzo proporzionale dopo i primi due. Nella proporzione

a:b = b:c

b è il medio proporzionale fra a e c; c è il terzo proporzionale dopo a e b.

Proprietà fondamentale delle proporzioni

Data la proporzione

12:6=8:4  (1)

cioè

[pmath size=12]12/6=8/4[/pmath]

riduciamo le due frazioni allo stesso denominatore, assumendo come tale il prodotto 6 x 4 dei loro denominatori. Abbiamo:

[pmath size=12]12*4/6*4 = 8*6/4*6[/pmath] cioè [pmath size=12]12*4/24 = 8*6/24[/pmath]

e poiché due frazioni uguali, aventi uguali denominatori devono avere uguali anche i numeratori, abbiamo dall’ultima uguaglianza:

[pmath size=12]12*4 = 8*6[/pmath] (2)

Si può notare che il primo membro della (2) è il prodotto degli estremi della proporzione (1) e che il secondo membro è il prodotto dei medi. Abbiamo quindi la seguente proprietà, detta anche proprietà fondamentale delle proporzioni:

in ogni proporzione il prodotto dei medi
è uguale al prodotto degli estremi

A titolo di esercizio si considerino le seguenti proporzioni:

[pmath size=12]20:10=6:3[/pmath]
[pmath size=12]20*3=10*6[/pmath]

[pmath size=12]15:10=3:2[/pmath]
[pmath size=12]15*2=10*3[/pmath]

[pmath size=12]a:b=c:d[/pmath]
[pmath size=12]a*d=b*c[/pmath]

La proprietà fondamentale ha la sua inversa:

quattro numeri, dati in un certo ordine, formano una proporzione se il prodotto del primo per il quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo.

Come esempio prendiamo i quattro numeri:

3, 5, 9, 15

poiché abbiamo:

[pmath size=12]3*15=45 e 5*9=45, cioè 3*15=5*9[/pmath]

ne consegue la proporzione:

[pmath size=12]3:5=9:15[/pmath]

Corso di elettrotecnica ed elettronica: richiami di Matematica – divisioni – Lezione 3

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Prendiamo in considerazione un caso particolare di divisione, quello tra un numero qualsiasi e lo 0, ad esempio: 7:0

Precisazione. In matematica la divisione per 0 non esiste, però in questa breve richiamo di matematica si vuole mostrare empiricamente cosa accade quando facciamo tendere ad un numero molto piccolo il divisore, cioè il rapporto aumenta sempre più. lo scopo quindi non è far comprendere il concetto di limite matematico a +infinito o a -infinito, ma più banalmente che dividere successivamente per un numero sempre più piccolo si ha un numero sempre più grande 🙂
Lo scopo è quello di poter fare calcoli mentali e stime su grandezze, capacità che molto spesso manca negli studenti del biennio.

Fatta la precisazione… 🙂

Analizziamo prima la divisione:

7 : 1 = 7

utilizziamo la rappresentazione geometrica per rendere più chiaro il concetto di divisione.

Il primo numero viene chiamato “dividendo”, il secondo numero “divisore”.

Rappresentaimo il dividendo e il divisore con due segmenti aventi lunghezza proporzionale ed osserviamo quante volte il “divisore” è contenuto nel segmento “dividendo”.

Nel caso di 7 : 1 abbiamo qunto rappresentato in figura, dove possiamo vedere che il segmento [pmath size=12]overline{CD}[/pmath] è contenuto 7 volte nel segmento [pmath size=12]overline{AB}[/pmath].

divisione01

[pmath size=12]overline{AB}=7[/pmath]
[pmath size=12]overline{CD}=1[/pmath]

Nel caso in cui il dividendo fosse molto piccolo, prossimo a 0, la divisione sarebbe: 7 : 0 (concedetemelo matematici)

divisione02

[pmath size=12]overline{AB}=7[/pmath]
[pmath size=12]overline{CD}=0[/pmath]

Quando diciamo che il segmento [pmath size=12]overline{CD}[/pmath] è nullo, matematicamente si intende un numero infinitamente piccolo con i due stremi C e D coincidenti, quindi possiamo dire che questo “piccolissimo” segmento è contenuto un numero infinito di volte all’interno del segmento [pmath size=12]overline{AB}[/pmath].

Possiamo allora scrivere:

[pmath size=12]7/(numero piccolissimo) = numero grandissimo[/pmath]

ed in generale possiamo dire che:

[pmath size=12]n/(numero piccolissimo) = numero grandissimo[/pmath]

Per rendere più evidente il concetto di divisione per numero piccolissimo si provi ad esempio a fissare il “dividendo” ed effettuare divisioni successive con il “divisore” che ad ogni  passo si riduce di una determinata quantità. Riprendiamo l’esempio dei segmenti fatto all’inizio  e riduciamo ad ogni passo la lunghezza del segmento [pmath size=12]overline{CD}[/pmath] di un’ordine di grandezza, ponendo il segmento [pmath size=12]overline{AB}=1[/pmath]

[pmath size=12]1 : 0.1 = 1/0.1 = 10[/pmath]

[pmath size=12]1 : 0.01 = 1/0.01 = 100[/pmath]

[pmath size=12]1 : 0.001 = 1/0.001 = 1000[/pmath]

[pmath size=12]1 : 0.0001 = 1/0.0001 = 10000[/pmath]

[pmath size=12]1 : 0.00001 = 1/0.00001 = 100000[/pmath]

[pmath size=12]1 : 0.000001 = 1/0.000001 = 1000000[/pmath]

[pmath size=12]1 : 0.0000001 = 1/0.0000001 = 10000000[/pmath]

[pmath size=12]1 : 0.00000001 = 1/0.00000001 = 100000000[/pmath]

[pmath size=12]1 : 0.000000001 = 1/0.000000001 = 1000000000[/pmath]

procedendo in questo modo, riducendo sempre di più il divisore, il risultato della divisione aumenta sempre più.


Note e ringraziamenti.

  • Sax per la richiesta di precisazione sulla divisione per zero.
  • Gianni per le correzioni sulle divisioni successive, segmento AB non 7 ma 1.

Corso di elettrotecnica ed elettronica: richiami di Matematica – calcoli numerici – Lezione 2

banner-corso-elettrotecnica-elettronica-02

Nella lezione precedente sono state enunciate le regole di base delle potenze, queste regole trovano applicazione quando è indispensabile effettuare calcoli con numeri decimali oppure con numeri grandi. E’ necessario esprimere i numeri in potenze di 10 eseguendo il calcolo separatamente tra i coefficienti numerici e le potenze stesse:

[pmath size=16]0.0025*2500/0.05[/pmath]

dove

[pmath size=16]0.0025=2.5 * 10^-3[/pmath]

[pmath size=16]2500=2.5 * 10^3[/pmath]

[pmath size=16]0.05=5 * 10^-2[/pmath]

quindi

[pmath size=16]2.5*10^-3*[/pmath][pmath size=16]2.5*10^3/5*10^-2[/pmath]

in altra forma

[pmath size=16]2.5/10^3*[/pmath][pmath size=16]2.5*10^3/5*10^-2[/pmath]

semplificando

calcolo01

da cui:

[pmath size=16]2.5*[/pmath][pmath size=16]0.5/10^-2[/pmath]

[pmath size=16]2.5*0.5*10^2 = 1.25*10^2 = 125[/pmath]

Altro esempio

[pmath size=16]49*10^4*1.4*10^-6*4.9*10^-4/2.8*10^-1=[/pmath]

[pmath size=16]49*1.4*4.9/2.8[/pmath][pmath size=16]*[/pmath][pmath size=16]10^4*10^-6*10^-4/10^-1=[/pmath]

[pmath size=16]120.05*10^-5 = 1.2005*10^-3[/pmath]

Risulta comodo utilizzare le potenze di 10 anche per le equivalenze, ad esempio:

[pmath size=16]5.3 km = 5.3*10^3 m[/pmath]

Infatti per poter passare da km a m è necessario spostare la virgola di 3 posizioni verso destra, che risulta equivalente a moltiplicare per [pmath size=16]10^3[/pmath]

Per esempio:

[pmath size=16]73 cm^2 = 73*10^-4 m^2[/pmath]

Per passare da cm a m è necessario spostare la virgola di 2 posizioni verso sinistra, quindi bisogna moltiplicare per [pmath size=16]10^-2[/pmath], però poiché stiamo operando con grandezze al quadrato è necessario eseguire: [pmath size=16](10^-2)^2=10^-4[/pmath].

Le potenze di 10 possono essere espresse mediante prefissi, di seguito sono riportati quelli più usati in Elettrotecnica ed Elettronica:

prefissio: mega
simbolo: M
potenza: [pmath size=12]10^6[/pmath]

prefissio: chilo
simbolo: k
potenza: [pmath size=12]10^3[/pmath]

prefissio: milli
simbolo: m
potenza: [pmath size=12]10^-3[/pmath]

prefissio: micro
simbolo: [pmath size=12]mu[/pmath]
potenza: [pmath size=12]10^-6[/pmath]

prefissio: nano
simbolo: n
potenza: [pmath size=12]10^-9[/pmath]

prefissio: pico
simbolo: p
potenza: [pmath size=12]10^-12[/pmath]

Per esempio:

[pmath size=12]18000 m = 18*10^3=18Km[/pmath]

[pmath size=12]0.0075 = 7.5*10^-3 m = 7,5mm[/pmath]

[pmath size=12]2700000 W = 2.7*10^6 W = 2.7 MW[/pmath]

Corso di elettrotecnica ed elettronica: richiami di Matematica – operazioni con le potenze – Lezione 1

banner-corso-elettrotecnica-elettronica-01Per poter studiare l’elettrotecnica e  l’elettronica è indispensabile conoscere alcuni concetti di base di matematica indispensabili per lo svolgimento del corso. Eviterò di fare dimostrazioni matematiche ed alcune nozioni saranno richiamate rapidamente mediante brevi esempi ed esercizi che permetteranno più avanti di affrontare i calcoli che necessitano per la risoluzione di alcuni problemi. Quanto scritto non sostituisce un testo di matematica o di elettrotecnica, ma può essere usato a supporto delle proprie sperimentazioni in laboratori, pertanto ben si adatta allo studente appassionato del primo anno delle superiori oppure a chi per passione si avvicina al mondo dell’elettronica.

Come detto nel post di presentazione, tutte le lezioni potranno subire modifiche ed integrazioni con ulteriori appunti che di volta in volta riterrò utile aggiungere, quando accadrà ne darò avviso su questo sito.


Operazioni con le potenze

  • Il prodotto tra potenze con stessa base è una potenza avente la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
  • La divisione (o rapporto) tra potenze con la stessa base è una potenza avente la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti.
  • La potenza di una potenza è una potenza avente la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

[pmath size=16]10^4*10^3*10^2 = 10^(4+3+2) = 10^9[/pmath]

[pmath size=16]10^7/10^2 = 10^(7-2) = 10^5[/pmath]

[pmath size=16](10^3)^4 = 10^(3*4) = 10^12[/pmath]

  • Qualunque potenza con esponente uguale a 0 è uguale ad 1.

[pmath size=16]10^0 = 1;          67^0 = 1;          (2/3)^0 = 1[/pmath]

E’ possibile verificare questa proprietà con l’esempio che segue:

[pmath size=16]10^7:10^7 = 1[/pmath]

[pmath size=16]10^7:10^7 = 10^(7-7) = 10^0[/pmath]

da cui

[pmath size=16]10^0 = 1[/pmath]

  • Una potenza con esponente negativo è uguale all’inverso (reciproco) della stessa potenza con esponente positivo.

[pmath size=16]10^-5 = 1/10^5[/pmath]

Possiamo anche dire che è possibile portare una potenza dal numeratore al denominatore (e viceversa) di una frazione cambiando segno all’esponente:

[pmath size=16]2^-4 = 1/2^4;          1/5^-3 = 5^3;          7^3=1/7^-3[/pmath]

E’ possibile dimostrare questa regola con un esempio pratico:

[pmath size=16]1/10^3 = 10^0/10^3 = 10^0:10^3 = 10^(0-3) = 10^-3[/pmath]

ATTENZIONE

Se avete una somma di potenze l’unica cosa da fare è svolgere il calcolo:

[pmath size=16]2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24[/pmath]

il risultato NON potrà essere:

[pmath size=16]2^7 = 128[/pmath]

Regole e casi particolari

[pmath size=16]a^1=a[/pmath]
[pmath size=16]0^n=0~con~n<>0[/pmath]
[pmath size=16]1^n=1[/pmath]
[pmath size=16]a^0=1~con~a<>0[/pmath]

Al simbolo [pmath size=16]0^0[/pmath] non si attribuisce nessun significato

Proprietà delle potenze aventi la stessa base

Prodotto

[pmath size=16]a^m*a^n=a^(m+n)[/pmath]

Quoziente

[pmath size=16]a^m/a^n=a^(m-n)[/pmath]

Potenza di potenza

[pmath size=16](a^m)^n=a^{m*n}[/pmath]

Proprietà delle potenze aventi lo stesso esponente

Potenza di un prodotto

[pmath size=16](a*b*c)^n=a^n*b^n*c^n[/pmath]

Potenza di un quoziente

[pmath size=16](a/b)^n=a^n/b^n[/pmath]

Proprietà delle potenze aventi esponente negativo

[pmath size=16]a^{-n}=1/a^n[/pmath]

[pmath size=16](a/b)^{-n}=(b/a)^n[/pmath]