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Corso di elettrotecnica ed elettronica: richiami di Matematica – circonferenza e cerchio – Lezione 5

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Capita sovente, soprattutto in elettrotecnica, di dover calcolare la lunghezza di una circonferenza o la superficie di un cerchio, che ricordo essere l’area racchiusa dalla circonferenza stessa ecco perché mi preme ricordare alcune cose molto elementari di geometria.

Disegniamo un punto O sul foglio,. Disegniamo ora un altro punto A. Possiamo disegnare altri punti che abbiano da O la stessa distanza che ha il punto A?

Certamente!

circonferenza01

Bene! Disegnamone ancora di più!

circonferenza02

Disegniamoli tutti! Abbiamo dunque un insieme di punti che formano una linea.

circonferenza03

L’abbiamo già vista negli studi elementari: è la circonferenza.

La circonferenza è una linea chiusa i cui punti hanno la stessa distanza da un punto detto centro.

Sapete ovviamente che per disegnare una circonferenza si usa un compasso e quindi in questo modo possiamo dire che nel caso di una circonferenza i punti del piano si dividono in:

  • quelli che stanno fuori, della circonferenza (chiamati punti esterni alla circonferenza),
  • quelli che stanno sulla circonferenza
  • quelli che stanno dentro la circonferenza  (chiamati punti interni alla circonferenza).

I punti esterni alla circonferenza hanno una distanza dal centro maggiore del raggio, quelli sulla circonferenza hanno una distanza dal centro uguale al raggio e quelli interni alla circonferenza hanno la distanza dal centro minore del raggio.

Tutti i punti interni alla circonferenza (compreso il centro) e i punti della circonferenza formano un’altro insieme: il cerchio.

Il cerchio è la parte di piano limitata da una circonferenza.

Dunque la circonferenza è una linea mentre il cerchio è una superficie.

Ricordo le relative formule che DEVONO essere ricordate:

[pmath size=12]C = 2pi r[/pmath] per la circonferenza (lunghezza);

[pmath size=12]S = pi r^2[/pmath] per il cerchio (area);

dove:

[pmath size=12]pi=3,14[/pmath]

Dalle formule sopra potete constatare che gli elementi sono sempre gli stessi: 2, [pmath size=12]pi[/pmath] ed r, ma disposti in maniera differente: come potete vedere chi cambia posizione è il 2 che nella prima formula è all’inizio mentre nella seconda è alla fine sotto forma di esponente (potrebbe essere un modo per ricordare le due formule).

Per il calcolo del raggio si ricorre alle formule inverse:

[pmath size=12]r=C/2*pi[/pmath]
nota la lunghezza della circonferenza

[pmath size=12]r=sqrt{S/pi}[/pmath]
nota la superficie del cerchio

Ovviamente la relazione tra diametro e raggio è:

[pmath size=12]d=2r[/pmath]

Per quanto riguarda le nozioni di base sul cerchio mi fermo, nel momento in cui avrò necessità di introdurre concetti di trigonometria, calcolo vettoriale, corrente alternata ed altro, dove sarà necessario parleremo ancora di circonferenza.

Corso di elettrotecnica ed elettronica: richiami di Matematica – proporzioni – Lezione 4

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Il rapporto tra

12 e 3 è 12:3 =4

il rapporto tra

8 e 2 è 8:2=4

Poiché i due rapporti sono uguali possiamo scrivere:

12:3 = 8:2

L’ugiaglianza scritta si chiama proporzione e si legge:

12 sta a 3 come 8 sta a 2

Diciamo che:

La proporzione è l’uguaglianza di due rapporti.

In altro modo:

Quattro numeri assegnati in un certo ordine formano una proporzione se il rapporto fra il primo e il secondo è uguale al rapporto fra il terzo ed il quarto.

Ad esempio, i numeri 6, 3, 8 e 4 nell’ordine dato formano una proporzione, perché il rapporto fra il primo e il secondo 6:3=2 è uguale al rapporto fra il terzo e il quarto 8:4. Possiamo quindi scrivere:

6:3 = 8:4

I quattro numeri di una proporzione si chiamano termini della proporzione e precisamente 1°, 2°, 3° e 4° termine a cominciare da sinistra:

  • antecedenti di una proporzione sono il 1° ed il 3° termine;
  • conseguenti di una proporzione sono il 2° ed il 4° termine;
  • estremi di una proporzione sono il 1° ed il 4° termine;
  • medi di una proporzione sono il 2° ed il 3° termine;

Il quarto termine di una proporzione prende il nome di quarto proporzionale dopo gli altri tre nell’ordine.

Ad esempio nella proporzione:

6:3 = 8:4

i numeri 6, 3, 8, 4 sono i termini e precisamente, nell’ordine: il 1°, il 2°, il 3° e il 4° termine.

  • 6 e 8 sono gli antecedenti;
  • 3 e 4 sono i conseguenti
  • 6 e 4 sono gli estremi;
  • 3 e 8 i medi
  • 4 è il 4° proporzionale dopo 6, 3 e 8

Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali.

Le seguenti proporzioni sono continue:

12:6=6:3

18:12=12:8

In una proporzione continua il termine medio si dice medio proporzionale fra gli estremi; l’ultimo termine si dice terzo proporzionale dopo i primi due. Nella proporzione

a:b = b:c

b è il medio proporzionale fra a e c; c è il terzo proporzionale dopo a e b.

Proprietà fondamentale delle proporzioni

Data la proporzione

12:6=8:4  (1)

cioè

[pmath size=12]12/6=8/4[/pmath]

riduciamo le due frazioni allo stesso denominatore, assumendo come tale il prodotto 6 x 4 dei loro denominatori. Abbiamo:

[pmath size=12]12*4/6*4 = 8*6/4*6[/pmath] cioè [pmath size=12]12*4/24 = 8*6/24[/pmath]

e poiché due frazioni uguali, aventi uguali denominatori devono avere uguali anche i numeratori, abbiamo dall’ultima uguaglianza:

[pmath size=12]12*4 = 8*6[/pmath] (2)

Si può notare che il primo membro della (2) è il prodotto degli estremi della proporzione (1) e che il secondo membro è il prodotto dei medi. Abbiamo quindi la seguente proprietà, detta anche proprietà fondamentale delle proporzioni:

in ogni proporzione il prodotto dei medi
è uguale al prodotto degli estremi

A titolo di esercizio si considerino le seguenti proporzioni:

[pmath size=12]20:10=6:3[/pmath]
[pmath size=12]20*3=10*6[/pmath]

[pmath size=12]15:10=3:2[/pmath]
[pmath size=12]15*2=10*3[/pmath]

[pmath size=12]a:b=c:d[/pmath]
[pmath size=12]a*d=b*c[/pmath]

La proprietà fondamentale ha la sua inversa:

quattro numeri, dati in un certo ordine, formano una proporzione se il prodotto del primo per il quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo.

Come esempio prendiamo i quattro numeri:

3, 5, 9, 15

poiché abbiamo:

[pmath size=12]3*15=45 e 5*9=45, cioè 3*15=5*9[/pmath]

ne consegue la proporzione:

[pmath size=12]3:5=9:15[/pmath]

On-line il 69° carnevale della matematica

On-line il Carnevale Della Matematica #69 la prima edizione del 2014, con l�intrigante tema �Macchine Matematiche antiche e moderne�. Tantissimi i contributi, tra questi due miei articoli pubblicati negli scorsi giorni sul mio blog:

carnevale-della-matematica

Insegnare ai bambini a programmare

bambino-programmatoreQuesto il mio contributo al 69° Carnevale della Matematica: “Macchine matematiche antiche e moderne“, poiché la mia “macchina matematica” preferita è il computer allora parlerò di come secondo me bisognerebbe insegnare a programmare questa macchina fin da piccoli, in modo che si possa da grandi imparare a programmare “macchine matematiche” più complesse 🙂

Perché io che insegno in una scuola superiore dovrei parlare del modo con cui insegnare informatica nella primaria?
In primo luogo perché lo scambio di competenze è un’aiuto per la propria crescita personale, in secondo luogo perché vorrei tentare di dare un piccolo contribito alla risoluzione di un grande problema, soluzione che si ottiene modificando l’insegnamento dell’informatica fin dalla scuola primaria.

Noto spesso la difficoltà con cui gli studenti affrontano la programmazione della loro azione di apprendimento, ciò capita perché in generale non si insegna a farlo. Si da per scontato che uno studente da solo impari la tecnica di studio, impari a memorizzare, impari a dare sequenza alle proprie azioni di studio, si dimentica però che queste azioni, informatiche, sono da insegnare, non nascono naturalmente. Ecco perché lo studente, ma soprattutto l’insegnante, dovrebbe aggiungere alla propria azione didattica il modulo: “impara a pensare” che in altro modo può essere tradotto come:

“impara ad ordinare i tuoi pensieri”
“impara a risolvere i problemi”

o ancora meglio:

“impara a programmare”,

in questo modo lo studente avrà la competenza nel formalizzare logicamente qualsiasi tipo di progetto.

Ma quando iniziare questa azione?
Subito! Dalle scuole elementari, la dispersione è da prevenire!

Tanto prima gli insegnati, di ogni disciplina, impareranno come fare informatica meglio sarà per i nostri studenti.

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Inserire formule matematiche in edmodo

edmodo-latexGrazie alla mail della collega di matematica Paola Demarchi colgo l’occasione per indicare una funzionalità non citata nelle mie slide, recentemente pubblicate sull’uso di edmodo: inserire formule matematiche in note e quiz in edmodo.

Questa la mail della collega

Buonasera.
Mi chiamo Paola Demarchi ed insegno Matematica presso l’Istituto tecnico per geometri di Cuneo.
Durante un convegno su Matematica e Dsa un relatore ha speso alcune parole per Edmodo e mi ha incuriosita. In questi giorni di vacanza ne ho voluto approfittare per cercare di capire come funziona, per poterlo usare con le mie classi. Sono riuscita ad inserire file, link, creare il gruppo classe, ma mi sono bloccata sui quiz.
Cercando notizie in internet, ho visto la sua presentazione sul suo sito, dove non ho trovato la soluzione, ma visto la disciplina che insegna, forse una dritta me la può dare.
Mi sono trovata nei pasticci ad inserire formule nelle domande. Ho provato a scrivere i testi delle domande su un file open office writer con l’intento di copiarlo, ma il tentativo non è andato a buon fine.
Come posso fare per costruire i quiz con le formule?
Grazie per l’attenzione
Ne approfitto anche per auguraLe buon inizio d’anno

Distinti saluti

Paola D.

La mancanza è mia, è una parte che aggiungerò nelle slide, nel mentre pubblico la soluzione su questo sito in modo che possa essere utile da subito anche ad altri colleghi.

Per quanto riguarda le formule matematiche è sempre un problema integrarle in pagine web e bisogna ricorrere ad altri software o plug-in, ma recentemente in edmodo è stato inserito il supporto a LaTeX.

Per includere equazioni matematiche in note o domanda di un Quiz su edmodo bisogna  scrivere la formula in LaTeX inclusa tra i tag

[math] ... [/math]

questo genera un’immagine che corrisponde alla formula scritta che sarà visualizzata nel post.

Provate ad esempio a scrivere:

[math] \lim_{x \to \infty} \exp(-x) = 0 [/math]

oppure con:

[math] \cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta [/math]

Il risultato sarà quello dell’immagine che segue:

formule-matematiche-edmodo-latex

Di seguito alcune risorse utili:

Saluti.